?sin60度（sin60度的三角函數值）

sin60度（sin60度的三角函數值）

老黃覺得，解三角形最重要的三個公式分別是：正弦公式、余弦公式和三角形的正弦面積公式，以及它們的變形公式。2022年新高考全國卷II的解三角形問題，就很好地結合了這三個重要公式。

記△ABC的內角A, B, C的對邊分別為a, b, c, 以a, b, c為邊長的三個正三角形的面積分別S1, S2, S3, 且S1-S2+S3=√3/2, sinB=1/3.

(1)求△ABC的面積.

(2)若sinAsinC=√2/3, 求b.

原題是沒有圖形的，老黃為了做個封面，就畫了下面的圖形，也能更直觀地理解題目的條件和要求。我個你講喔，要把這個圖畫準確，可比解這道題難多了哦。當然老黃也就畫個草圖而已。

分析：(1)題目的突破點之一，是利用三個正三角形的正弦面積公式，即S1=a^2sin60度/2, S2=b^2sin60度/2, S3=c^2sin60度/2, 利用題目所給的三個正三角形的面積關系，就可以轉化得a^2-b^2+c^2=2. 因為上面所提到的三個公式都與邊角有關，所以把面積關系轉化成邊的關系，會有更多的可能。

接下來利用角B的余弦公式：2accosB=a^2+c^2-b^2，就可以得到accosB=1.

下面判斷角B是銳角還是鈍角，因為要用到它的余弦，所以要判斷角B的余弦的符號性質。因為b^2=a^2+c^2-2，即b比直角三角形勾股定理中的斜邊相對要小，根據“小邊對小角”，可以知道，角B是一個銳角。

因此cosB=√(?( )^)=2√/3, 這就可以求得ac=1/cosB=3√/4.

再次運用三角形ABC的正弦面積公式，就有S△ABC=acsinB/2=√/8.

(2)第二小題一看就知道要用到正弦公式：sinA/a=sinB/b=sinC/c. 然后分別用邊的關系表示sinA和sinC. 就有邊角關系sinAsinC=ac/(9b^2). 分子分母同時乘以cosB, 分子化為accosB=1，分母則化為9b^2cosB=6√b^2. 即1/(6√b^2)=√/3. 輕松解得b=1/2, 或b=-1/2(舍去).

下面組織解題過程：

解：(1)S1-S2+S3=(a^2-b^2+c^2)sin60度/2=√3/2,

a^2-b^2+c^2=2, 又a^2+c^2-b2=2accosB, ∴accosB=1,

由b^2=a^2+c^2-2, 知B<90度. cosB=√(1-(sinB)^2)=2√2/3,

△ABC的面積S=acsinB/2=ac/6=1/(6cosB)=√2/8.

(2)由sinA/a=sinB/b=sinC/c,有sinA=a/(3b), sinC=c/(3b).

sinAsinC=ac/(9b^2)=1/(9b^2cosB)=1/(6√2b^2)=√2/3.

解得： b=1/2, 或b=-1/2(舍去).

所以，解三角形的三個重要公式及其各種變形形式，你都掌握了嗎？